Question

下列说法：
①函数y=log

1

2

(x2-2x-3)的单调增区间是（-∞，1）；
②若函数y=f（x）定义域为R且满足f（1-x）=f（x+1），则它的图象关于y轴对称；
③对于指数函数y=2^x与幂函数y=x²，总存在x₀，当x＞x₀时，有2^x＞x²成立；
④若关于x的方程|x|（x+2）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x₁，x₂，x₃，则x₁+x₂+x₃的取值范围是(-2，

2

-3)．
其中正确的说法是

③④

．

Answer 1

分析：①中，可判断所给增区间不是函数定义域的子集，由此可知①错误；②中，根据所给等式及对称定义可判断②正确；③中，作出两函数图象可知其正确；④中，构造函数y=|x|（x+2），化为分段函数，然后作出图象，利用图象可得结论；

解答：解：①中，由x²-2x-3＞0，得x＜-1或x＞3，
∴y=log

1

2

(x2-2x-3)的定义域为（-∞，-1）∪（3，+∞），
而所给增区间（-∞，1）不是定义域的子集，故①错误；
②中，由f（1-x）=f（1+x），知f（x）的图象关于x=1对称，故②错误；
③中，作出y=2^x与y=x²的图象，如图（右一）所示：存在x₀=4，当x＞4时，有2^x＞x²成立，故③正确；
④中，构造函数y=|x|（x+2），
（1）当x≥0时，y=x（x+2）=（x+1）²-1；（2）当x＜0时，y=-x（x+2）=-（x+1）²+1，对称轴x=-1，
作出图象如图（右二）：
∵方程|x|（x+2）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x₁，x₂，x₃，即两个图象有3个交点，
∴0＜m＜1，
不妨设 x₁＜x₂＜x₃，则x₁+x₂=-2，
当m=1时，x（x+2）=1，得x=-1+

2

，
此时x₃满足0＜x₃＜

2

-1，
∴x₁+x₂+x₃的取值范围是(-2，

2

-3)，故④正确．
故答案为：③④

点评：本题考查复合函数单调性、函数的零点、指数函数与幂函数的增长规律及函数图象的对称性，考查数形结合思想，考查学生对知识掌握的全面性．