Question

4．如图（1）在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=$\frac{π}{2}$，AB=BC=$\frac{1}{2}$AD=a，E是AD的中点，O是AC与BE的交点，将△ABE沿BE折起到图（2）中△A₁BE的位置，得到四棱锥A₁-BCDE．


（Ⅰ）求证：CD⊥平面A₁OC；
（Ⅱ）当平面A₁BE⊥平面BCDE时，若a=2，求四棱锥A₁-BCDE的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出BE⊥AC，BE⊥O，CD∥BE，由此能证明CD⊥平面A₁OC．
（Ⅱ）推导出A₁O是四棱锥A₁-BCDE的高，由此能求出四棱锥A₁-BCDE的体积．

解答 （本小题满分12分）
证明：（Ⅰ）在图（1）中，因为AD∥BC，AB=BC=$\frac{1}{2}$AD=a，
E是AD中点，∠BAD=$\frac{π}{2}$，
所以BE⊥AC，且CD∥BE，
所以在图（2）中，BE⊥A₁O，BE⊥OC，…（4分）
又BE⊥平面A₁OC，CD∥BE，
所以CD⊥平面A₁OC．                            …（6分）
解：（Ⅱ）由题意，可知平面A₁BE⊥平面BCDE，且平面A₁BE∩平面BCDE=BE，
又由（1）可得A₁O⊥BE，所以A₁O⊥平面BCDE，
即A₁O是四棱锥A₁-BCDE的高，…（8分）
由图（1）知，A₁O=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，${S}_{BCDE}=BC•AB={a}^{2}$，又a=2，
所以四棱锥A₁-BCDE的体积V=$\frac{1}{3}×{S}_{BCDE}×{A}_{1}O$=$\frac{1}{3}{a}^{2}•\frac{\sqrt{2}}{2}a=\frac{\sqrt{2}}{6}{a}^{3}=\frac{4\sqrt{2}}{3}$．…（12分）

点评 本题考查线面垂直的证明，考查四棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．