Question

1．已知函数f（x）=|x²-1|-ax-1（a∈R）
（1）若关于x的方程f（x）+x²+1=0在区间（0，2]上有两个不同的解x₁，x₂
①求a的取值范围；
②若x₁＜x₂，求$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$的取值范围；
（2）设函数f（x）在区间[0，2]上的最大值和最小值分别为M（a），m（a），求g（a）=M（a）-m（a）的表达式．

Answer 1

分析 （1）①求得a=|x-$\frac{1}{x}$|+x的分段函数式，作出函数y=|x-$\frac{1}{x}$|+x的图象，求出最值，即可得到所求a的范围；
②由①消去a，可得$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=2x₂，求得1＜x₂≤2，即可得到所求范围；
（2）求得f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}-ax，0≤x≤1}\\{{x}^{2}-ax-2，1＜x≤2}\end{array}\right.$，对a讨论，当a≥4时，当2≤a＜4时，当0≤a＜2时，当-2＜a＜0时，当a≤-2时，讨论单调性，可得M（a），m（a），即可得到所求g（a）的解析式．

解答 解：（1）由f（x）+x²+1=0，x∈（0，2]，
得a=|x-$\frac{1}{x}$|+x=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{x}，0＜x≤1}\\{2x-\frac{1}{x}，1＜x≤2}\end{array}\right.$．
①作出函数y=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{x}，0＜x≤1}\\{2x-\frac{1}{x}，1＜x≤2}\end{array}\right.$图象，
由函数y的最小值为1，最大值为4-$\frac{1}{2}$=$\frac{7}{2}$．
在区间（0，2]上有两个不同的解，可得1＜a≤$\frac{7}{2}$，
故a的取值范围是（1，$\frac{7}{2}$）．
②∵x₁＜x₂，a=$\frac{1}{{x}_{1}}$，a=2x₂-$\frac{1}{{x}_{2}}$，
则有$\frac{1}{{x}_{1}}$=2x₂-$\frac{1}{{x}_{2}}$，即$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=2x₂，
又1＜x₂≤2，∴$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=2x₂∈（2，4]，
故$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$的取值范围是（2，4]．
（2）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}-ax，0≤x≤1}\\{{x}^{2}-ax-2，1＜x≤2}\end{array}\right.$，
当a≥4时，有-$\frac{a}{2}$＜0，$\frac{a}{2}$≥2，f（x）在[0，2]上为减函数，
则g（a）=f（0）-f（2）=2a-2．
当2≤a＜4时，有-$\frac{a}{2}$＜0，1≤$\frac{a}{2}$＜2，f（x）在[0，$\frac{a}{2}$]上为减函数，在[$\frac{a}{2}$，2]上为增函数，
此时m（a）=f（$\frac{a}{2}$）=-2-$\frac{{a}^{2}}{4}$，M（a）=max{f（0），f（2）}=0，
则g（a）=$\frac{{a}^{2}}{4}$+2
当0≤a＜2时，有-$\frac{a}{2}$＜0，0≤$\frac{a}{2}$＜1，f（x）在[0，1]上为减函数，在[1，2]上为增函数，
此时m（a）=f（1）=-1-a，M（a）=max{f（0），f（2）}=$\left\{\begin{array}{l}{2-2a，0≤a＜1}\\{0，1≤a＜2}\end{array}\right.$，
则g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{3-a，0≤a＜1}\\{a+1，1≤a＜2}\end{array}\right.$．
当-2＜a＜0时，有0＜-$\frac{a}{2}$＜1，$\frac{a}{2}$＜0，f（x）在[0，-$\frac{a}{2}$]上为增函数，在[-$\frac{a}{2}$，1]上为减函数，
在[1，2]上为增函数，
此时m（a）=min{f（0），f（1）}=$\left\{\begin{array}{l}{1-a，-1＜a＜0}\\{0，-2＜a≤-1}\end{array}\right.$，
M（a）=max{f（-$\frac{a}{2}$），f（2）}=2-2a，
则g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{3-a，-1＜a＜0}\\{2-2a，-2＜a≤-1}\end{array}\right.$．
当a≤-2时，有$-\frac{a}{2}$≥1，$\frac{a}{2}$＜0，f（x）在[0，2]上为增函数，
则g（a）=f（2）-f（0）=2-2a．
则g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{2-2a，a≤-1}\\{3-a，-1≤a＜1}\\{a+1，1≤a＜2}\\{2+\frac{{a}^{2}}{4}，2≤a＜4}\\{2a-2，a≥4}\end{array}\right.$．

点评 本题考查分段函数的运用：求取值范围和最值，注意运用绝对值的意义和分类讨论和数形结合的思想方法，同时考查函数的单调性的运用，考查化简整理的运算能力，属于难题．