Question

已知双曲线C的中心为原点，点F(

2

，0)是双曲线C的一个焦点，过点F作渐近线的垂线l，垂足为M，直线l交y轴于点E，若

FM

=

ME

，则C的方程为

x²-y²=1

．

Answer 1

分析：先根据条件求出EF的方程，得到E．F的坐标，再根据

FM

=

ME

，求出M的坐标，结合点M在渐近线上得到a，b之间的关系，再由点F(

2

，0)是双曲线C的一个焦点，可求出答案．

解答：解：设双曲线C的为

x2

a2

-

y2

b2

=1，a＞0，b＞0．
渐近线方程是y=±

b

a

x
右焦点的坐标是（

3

，0）
现在假设由右焦点向一、三象限的渐近线引垂线
所以取方程y=

b

a

x
∵EF垂直于渐近线，
∴直线EF的斜率是-

a

b

，
该直线的方程是y=-

a

b

（x-

2

）
当x=0时，y=

2 a

b

，
∴E点的坐标（0，

2 a

b

）
∵

FM

=

ME

，
∴M的坐标（

2

2

，

2 a

2b

）
∵点M在渐近线上，∴

2 a

2b

=

2

2

•

b

a

，
整理得：b²=a²，
∵c=

2

，∴b²=a²=1．
∴双曲线方程为x²-y²=1．
故答案为：x²-y²=1．

点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了学生转化和化归的数学思想的运用，以及基本的运算能力．