如图.在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中.点P为体对角线的中点．若△PAC的正视图的最高点与侧视图的每一个顶点相连所得的几何体的体积为V1.正方体外接球的体积为V2.则$\frac{{V} {1}}{{V} {2}}$的值为( )A．$\frac{1}{4π}$B．$\frac{\sqrt{3}}{4π}$C．$\frac{\sqrt{3}}{36π}$D� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

2．

如图，在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点P为体对角线的中点．若△PAC的正视图的最高点与侧视图的每一个顶点相连所得的几何体的体积为V₁，正方体外接球的体积为V₂，则$\frac{{V}_{1}}{{V}_{2}}$的值为（　　）

A．

$\frac{1}{4π}$

B．

$\frac{\sqrt{3}}{4π}$

C．

$\frac{\sqrt{3}}{36π}$

D．

$\frac{\sqrt{6}}{36π}$

分析如图所示，△PAC的正视图的最高点P₁为正方形CDD₁C₁的中心．与侧视图的每一个顶点相连所得的几何体为三棱锥P₁-P₂BC，其中点P₂为正方形BCC₁B₁的中心．体积V₁=$\frac{1}{3}{S}_{△{P}_{1}BC}$$•\frac{1}{2}a$．正方体外接球的直径为正方体的对角线，长度为$\sqrt{3}$a，体积为V₂=$\frac{4}{3}π（\frac{\sqrt{3}}{2}a）^{3}$．即可得出．

解答解：如图所示，△PAC的正视图的最高点P₁为正方形CDD₁C₁的中心．
与侧视图的每一个顶点相连所得的几何体为三棱锥P₁-P₂BC，其中点P₂为正方形BCC₁B₁的中心．
体积V₁=$\frac{1}{3}{S}_{△{P}_{1}BC}$$•\frac{1}{2}a$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}a•a×\frac{1}{2}a$=$\frac{1}{24}{a}^{3}$
正方体外接球的直径为正方体的对角线，长度为$\sqrt{3}$a，体积为V₂=$\frac{4}{3}π（\frac{\sqrt{3}}{2}a）^{3}$=$\frac{\sqrt{3}π{a}^{3}}{2}$．
则$\frac{{V}_{1}}{{V}_{2}}$=$\frac{\frac{1}{24}{a}^{3}}{\frac{\sqrt{3}π{a}^{3}}{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{36π}$．
故选：C．

点评本题考查了三视图的有关知识、三棱锥的体积、正方体的性质、球的体积计算公式，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．

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A．

$\frac{1}{3}$

B．

$\frac{2}{3}$

C．

$\frac{1}{2}$