Question

设F₁，F₂分别是椭圆

x2

4

+y2=1的左右焦点，过左焦点F₁作直线l与椭圆交于不同的两点A、B．
（Ⅰ）若OA⊥OB，求AB的长；
（Ⅱ）在x轴上是否存在一点M，使得

MA

•

MB

为常数？若存在，求出M点的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）当直线l与x轴垂直时，A(-

3

，

1

2

)，B(-

3

，-

1

2

)，此时OA与OB不垂直．当直线l与x轴不垂直时，设l的方程为y=k(x+

3

)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理及OA⊥OB，求出斜率，即可求得AB的长；
（Ⅱ）设M（m，0）为x轴上一点，用坐标表示出向量，利用

MA

•

MB

为定值，建立方程，即可求得满足条件的点的坐标．

解答：解：（Ⅰ）当直线l与x轴垂直时，A(-

3

，

1

2

)，B(-

3

，-

1

2

)，此时OA与OB不垂直．（2分）
当直线l与x轴不垂直时，设l的方程为y=k(x+

3

)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立直线与椭圆的方程

y=k(x+ 3 ) x2+4y2=4

，整理得(4k2+1)x2+8

3

k2x+12k2-4=0（4分）x1+x2=

-8 3 k2

4k2+1

，x1x2=

12k2-4

4k2+1

∵OA⊥OB，∴x₁x₂+y₁y₂=0x1x2+k2(x1+

3

)(x2+

3

)=x1x2+k2x1x2+

3

k2(x1+x2)+3k2=0

3

k2•

-8 3 k2

4k2+1

+(1+k2)•

12k2-4

4k2+1

+3k2=0
解得k2=

4

11

（6分）
∴|AB|=

1+k2

|x1-x2|=

20

9

（8分）
（Ⅱ）设M（m，0）为x轴上一点

MA • MB =(x1-m)(x2-m)+y1y2=x1x2-m(x1+x2)+m2+y1y2 = 12k2-4 4k2+1 -m• -8 3 k2 4k2+1 +m2- k2 4k2+1 = (4m2+8 3 m+11)k2+m2-4 4k2+1

（12分）
若

MA

•

MB

为定值，则有

4m2+8 3 m+11

m2-4

=

4

1

，解得m=-

9 3

8

所以存在点M(-

9 3

8

， 0)使得

MA

•

MB

为定值．（14分）

点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查存在性问题的探究，解题的关键是直线与椭圆方程的联立，利用韦达定理解题．