Question

设a、b、c是互不相等的正数，现给出下列不等式 
（1）|a-b|≤|a-c|+|b-c|；
（2）a2+

1

a2

≥a+

1

a

；
（3）|a-b|+

1

a-b

≥2；
（4）

a+3

-

a+1

≤

a+2

-

a

，
则其中正确个数是（　　）

A．0

B．1

C．2

D．3

Answer 1

分析：利用绝对值不等式的性质可判断（1），利用换元法与作差法、配方法可判断（2），利用基本不等式可判断（3），利用分析法可判断（4）．

解答：解：（1）∵）|a-b|=|（a-c）+（c-b）|≤|a-c|+|b-c|，故（1）正确；
（2）由于a＞0，令t=a+

1

a

（t≥2），则a²+

1

a2

-（a+

1

a

）=t²-t-2=t（t-1）-2≥2×1-2=0，即则a²+

1

a2

≥a+

1

a

，故（2）正确；
（3）不妨令a=1，b=2，则|a-b|+

1

a-b

=1-1=0＜2，故（3）错误；
（4）要证

a+3

-

a+1

≤

a+2

-

a

，
需证

a+3

+

a

≤

a+2

+

a+1

，
即证2a+3+2

a(a+3)

≤2a+3+2

(a+1)(a+2)

，
即证a²+3a≤a²+3a+2，即0≤2，显然成立，故原式成立，故（4）正确；
综上所述，正确个数是3．
故选D．

点评：本题考查不等式比较大小，考查绝对值不等式、基本不等式、配方法与分析法的应用，属于中档题．