Question

某校高一年级共有学生320人．为调查高一年级学生每天晚自习自主支配学习时间（指除了完成教师布置的作业后学生根据自己的需要进行学习的时间）情况，学校采用随机抽样的方法从高一学生中抽取了n名学生进行问卷调查．根据问卷得到了这n名学生每天晚自习自主支配学习时间的数据（单位：分钟），按照以下区间分为七组：①[0，10），②[10，20），③[20，30），④[30，40），⑤[40，50），⑥[50，60），⑦[60，70），得到频率分布直方图如图．已知抽取的学生中每天晚自习自主支配学习时间低于20分钟的人数是4人．
（Ⅰ）求n的值；
（Ⅱ）若高一全体学生平均每天晚自习自主支配学习时间少于45分钟，则学校需要减少作业量．根据以上抽样调查数据，学校是否需要减少作业量？（注：统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表）
（Ⅲ）问卷调查完成后，学校从第3组和第4组学生中利用分层抽样的方法抽取7名学生进行座谈，了解各学科的作业布置情况，并从这7人中随机抽取两名学生聘为学情调查联系人，设第3组中学生被聘的人数是X，求X的分布列和数学期望．

Answer 1

解：（Ⅰ）由图知第1组和第2组的频率分别是0.02和0.06
则n×（0.02+0.06）=4，解得n=50
（Ⅱ）设第i组的频率和频数分别是p_i和x_i，由图知p₁=0.02，p₂=0.06，p₃=0.3，p₄=0.4，p₅=0.12，p₆=0.08，p₇=0.02
则由x_i=50×p_i，可得x₁=1，x₂=3，x₃=15，x₄=20，x₅=6，x₆=4，x₇=1
则高一学生每天平均自主支配时间是：

则学校需要减少作业量．
（Ⅲ）第3组和第4组的频数分别是15和20，用分层抽样的方法抽取7人，则第3组应抽（人），第4组应抽（人）
由题意知X=0，1，2，且，，
则X的分布列是

X	0	1	2
P

则
分析：（Ⅰ）由图知第1组和第2组的频率分别是0.02和0.06，则n×（0.02+0.06）=4，由此能求出n．
（Ⅱ）设第i组的频率和频数分别是p_i和x_i，由图知p₁=0.02，p₂=0.06，p₃=0.3，p₄=0.4，p₅=0.12，p₆=0.08，p₇=0.02
则由x_i=50×p_i，可得x₁=1，x₂=3，x₃=15，x₄=20，x₅=6，x₆=4，x₇=1．由此能求出高一学生每天平均自主支配时间．（Ⅲ）第3组和第4组的频数分别是15和20，用分层抽样的方法抽取7人，则第3组应抽人，第4组应抽人．由题意知X=0，1，2，由此能求出X的分布列和期望．
点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，解题时要认真审题，仔细读图，注意数形结合思想的合理运用．