Question

设椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦点为F₁（-2，0），左准线L₁与x轴交于点N（-3，0），过点N且倾斜角为30°的直线L交椭圆于A、B两点；
（1）求直线L和椭圆的方程；
（2）求证：点F₁（-2，0）在以线段AB为直径的圆上

Answer 1

分析：（1）根据题意可求得椭圆的c，进而根据准线方程求得a，则b可求得．则椭圆方程可得，进而根据点斜式求得直线L的方程．
（2）把直线与椭圆方程联立，消去y，设出A，B的坐标，则可求得x₁+x₂=-3x₁x₂，进而分别表示出F₁A和AF₁B斜率，进而求得kF1A•kF1B的值．

解答：解：（1）由题意知，c=2及

a2

c

=3得a=6
∴b²=6-2²=2
∴椭圆方程为

x2

6

+

y2

2

=1
直线L的方程为：y-0=tan30⁰（x+3）即y=

3

3

（x+3）
（2）由方程组

x2+3y2=6 y= 3 3 (x+3)

得2x²+6x+3=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=-3x₁x₂=

3

2

∵kF1A•kF1B=

y1

x1+2

•

y2

x2+2

=

1 3 (x1+3)(x2+3)

(x1+2)(x2+2)

=

x1x2+3(x1+x2)+9

3[x1x2+2(x1+x2)+4 ]

=-1
∴F₁A⊥F₁B则∠AF₁B=90°
∴点F（-2，0）在以线段AB为直径的圆上

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．