Question

设向量

m

=（sinB，

3

cosB），

n

=（

3

cosC，sinC），且A、B、C分别是△ABC的三个内角，若

m

•

n

=1+cos（B+C），则A=（　　）

• A、

  5π

  6

• B、

  π

  3

• C、

  2π

  3

• D、

  π

  6

Answer 1

分析：根据平面向量的数量积的运算法则化简已知的等式，由A+B+C=π，得到B+C=π-A，利用诱导公式得到sin（B+C）=sinA，代入化简后的式子中，得到一个关系式，记作①，根据同角三角函数间的基本关系得到另一个关系式，记作②，联立①②，求出sinA和cosA的值，根据A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．

解答：解：由A+B+C=π，得到B+C=π-A，
则

m

•

n

=sinB•

3

cosC+

3

cosB•sinC=

3

sin（B+C）=1+cos（B+C），
即

3

sinA=1-cosA，变形得：

3

sinA+cosA=1①，又sin²A+cos²A=1②，
由①得：cosA=1-

3

sinA③，把③代入②得：2sinA（2sinA-

3

）=0，
解得：sinA=0（舍去），sinA=

3

2

，
将sinA=

3

2

代入③得：cosA=1-

3

2

=-

1

2

，又A∈（0，π），
则A=

2π

3

．
故选C

点评：此题考查了平面向量的数量积的运算，以及同角三角函数间的基本关系．在求出sinA的值后，一定注意再求出cosA的值，由cosA的值为负数得到A为钝角，这是学生容易出错的地方．