Question

已知数列{a_n}的每一项都是正数，满足a₁=2，且a_n+1²-a_na_n+1-2a_n²=0；等差数列{b_n}的前n项和为T_n，b₂=3，T₅=25．
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）比较与2的大小；
（3）若＜c恒成立，求整数c的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）整理a_n+1²-a_na_n+1-2a_n²=0得（a_n+1-2a_n）（a_n+1+a_n）=0，进而求得a_n+1=2a_n，数列{a_n}是以2为首项，2为公比的等比数列，进而根据等比数列通项公式求得a_n，根据b₂=3，T₅=25．求得等差数列的首项和公差进而求得b_n．
（2）由（1）得T_n，进而求得，先看当n=1时＜2，进而利用＜=-利用裂项法求和，进而求得++…+＜2-＜2．
（3）令P_n=++…+=+++…+．把（1）中求得的a_n和b_n代入P_n，利用错位相减法求得P_n，进而判断P_n递增，求得P_n的范围，进而求得c的最小值．
解答：解：（1）a_n+1²-a_na_n+1-2a_n²=0
得（a_n+1-2a_n）（a_n+1+a_n）=0，
由于数列{a_n}的每一项都是正数，∴a_n+1=2a_n，∴a_n=2ⁿ．
设b_n=b₁+（n-1）d，由已知有b₁+d=3，5b₁+d=25，
解得b₁=1，d=2，∴b_n=2n-1．
（2）由（1）得T_n=n²，∴=，
当n=1时，=1＜2．
当n≥2时，＜=-．
∴++…+＜1+-+-++-=2-＜2．
（3）记P_n=++…+=+++…+．
∴P_n=++++，
两式相减得P_n=3-．
∵P_n递增，∴≤P_n＜3，P₄=＞2，
∴最小的整数c=3．
点评：本题主要考查了等差数列的性质和数列的求和问题．对于一些常用的数列的求和方法如公式法、错位相减法、叠加法、裂项法等应熟练掌握．