Question

11．函数f（x）=x+2cosx在区间[0，π]上的最大值为（　　）

• A． 2
• B． π-2
• C． $\sqrt{3}+\frac{5π}{6}$
• D． $\sqrt{3}+\frac{π}{6}$

Answer 1

分析 先求出函数f（x）的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的最大值．

解答 解：f′（x）=1-2sinx，
令f′（x）＞0，解得：x＜$\frac{π}{6}$或x＞$\frac{5π}{6}$，
令f′（x）＜0，解得：$\frac{π}{6}$＜x＜$\frac{5π}{6}$，
∴函数f（x）在[0，$\frac{π}{6}$），（$\frac{5π}{6}$，π]递增，在（$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$）递减，
∴f（x）_极大值=f（$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{3}$+$\frac{π}{6}$，f（x）_极小值=f（$\frac{5π}{6}$）=$\frac{5π}{6}$-$\sqrt{3}$，
又f（0）=2，f（π）=π-2，
故所求最大值为$\sqrt{3}$+$\frac{π}{6}$．

点评 本题考查了函数的单调性、函数的最值问题，考查导数的应用，是一道基础题．