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    已知
    a
    =(cosx，2
    		3
    cosx)，
    b
    =(2cosx，sinx)    ，且f（x）=
    a
    •
    b
    ．
    （I）求f（x）的最小正周期及单调递增区间；
    （Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若（a+2c）cosB=-bcosA成立，求f（A）的取值范围．
    分析：（I）利用两个向量的数量积公式化简f（x）的解析式为 2sin（2x+
    π
    6
    ）+1，从而求得它的周期．再由
    2kπ-
    π
    2
    ≤2x+
    π
    6
    ≤2kπ+
    π
    2
    ，k∈z，求出x的范围，即可得到函数的单调递增区间．
    （Ⅱ）在△ABC中，由正弦定理可得 cosB=-
    1
    2
    ，B=
    2π
    3
     得到 f（A）=2sin（2A+
    π
    6
    ）+1，根据A的范围，
    求出 2A+
    π
    6
     的范围，可得sin（2A+
    π
    6
    ）的范围，从而求得f（A）的取值范围．
    解答：解：（I）f（x）=
    a
    •
    b
    =2cos2x+2
    		3
    sinxcosx=2sin（2x+
    π
    6
    ）+1，故函数的周期为π．
    令  2kπ-
    π
    2
    ≤2x+
    π
    6
    ≤2kπ+
    π
    2
    ，k∈z，可得  kπ-
    π
    3
    ≤x≤kπ+
    π
    6
    ，k∈z，
    故函数的单调递增区间为[kπ-
    π
    3
    ，kπ+
    π
    6
    ]，k∈z．
    （Ⅱ）在△ABC中，由正弦定理可得（sinA+2sinC）cosB=-sinBcosA，
    即sinAcosB+2sinCcosB=-sinBcosA，sinAcosB+sinBcosA=-2sinCcosB，
    即sin（A+B）=-2sinCcosB，∴cosB=-
    1
    2
    ，B=
    2π
    3
    ，∴f（A）=2sin（2A+
    π
    6
    ）+1．
    由于 0＜A＜
    π
    3
    ，∴
    π
    6
    ＜2A+
    π
    6
    ＜
    5π
    6
    ，＜
    1
    2
    sin（2A+
    π
    6
    ）≤1，2＜f（A）≤3，
    故f（A）的取值范围为（2，3]．
    点评：本题主要考查两角和差的正弦公式的应用，两个向量的数量积公式，正弦定理的应用，属于中档题．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知
    a
    =(cosx+sinx，sinx)，
    b
    =(cosx-sinx，2cosx)    ，设f(x)=
    a
    •
    b
    ．
    （1）求函数f（x）的最小正周期，并写出f（x）的减区间；
    （2）当x∈[0，
    π
    2
    ]    时，求函数f（x）的最大值及最小值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知已知
    a
    =(cosx，sinx)，
    b
    =(sinx，cosx)    ，记f(x)=
    a
    •
    b
    ，要得到函数y=sin2x-cos2x的图象，只须将y=f（x）的图象（　　）
    A、向右平移
    π
    4
    个单位
    B、向右平移
    π
    2
    个单位
    C、向左平移
    π
    4
    个单位
    D、向左平移
    π
    2
    个单位

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知
    a
    =(cosx，-sin2x)，
    b
    =(6sinx+
    		3
    cosx，
    		3
    )    ，函数f(x)=
    a
    •
    b
    ．
    （1）求函数f（x）的最小正周期和单调减区间；
    （2）若x∈[0，
    5π
    12
    ]    ，求函数f（x）的最大值和最小值，并指出最大值和最小值时相应的x的值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知
    a
    =(cosx，sinx)，
    b
    =(cosx+
    		3
    sinx，
    		3
    cosx-sinx)    ，f(x)=
    a
    •
    b

    （1）求f（x）的解析式及其最小正周期；
    （2）求f（x）的单调增区间．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2007•深圳二模）已知
    a
    =(cosx+sinx，sinx)，
    b
    =(cosx-sinx，2cosx)    ，设f(x)=
    a
    •
    b
    ．
    （Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
    （Ⅱ）当x∈[-
    π
    4
    ，
    π
    4
    ]    时，求函数f（x）的最大值，并指出此时x的值．

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