Question

在?ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，E是BC边的中点，连接DE交AC于点F．已知

AB

=

a

，

AD

=

b

，则

OF

=

 

（用

a

和

b

表示）

Answer 1

考点：向量的加法及其几何意义,向量的减法及其几何意义

专题：平面向量及应用

分析：首先，设

AF

=λ

AC

，

DF

=μ

DE

，（λ，μ为常数），然后，利用所给

AB

=

a

，

AD

=

b

，表示已知的向量，然后，结合向量的加法和减法运算表示即可．

解答： 解：
如图示，设

AF

=λ

AC

，

DF

=μ

DE

，（λ，μ为常数），
∴

AF

-

AD

=μ(

DA

+

AB

+

BE

)，
即λ

AC

-

AD

=μ（-

b

+

a

+

1

2

b

），
∴λ（

a

+

b

）-

b

=μ（

a

-

1

2

b

），
∴（λ-μ）

a

+（λ+

μ

2

-1）

b

=

0

，
∵

a

，

b

不共线，
∴

λ-μ=0 λ+ μ 2 -1=0

，
∴λ=μ=

2

3

，
∵

OF

=

AF

-

AO

=

2

3

AC

-

1

2

AC

=

1

6

AC

=

1

6

(

a

+

b

)=

1

6

a

+

1

6

b

，
故答案为：

1

6

a

+

1

6

b

．

点评：本题重点考查了平面向量基本定理和向量的加法和减法运算及其运算律等知识，属于中档题．巧妙利用共线条件是解题关键．