Question

16．已知数列{a_n}的通项公式为a_n=n，数列{b_n}的通项公式为b_n=2ⁿ．
（1）数列{a_n}的前n项和为$\frac{1}{2}$n（n+1）；
（2）数列{b_n}的前n项和为2ⁿ⁺¹-2；
（3）设c_n=a_n+b_n，求数列{c_n}的前n项和；
（4）设c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和；
（5）设c_n=$\frac{1}{{{a}_{n}•a}_{n+1}}$，求数列{c_n}的前n项和．

Answer 1

分析 （1）由等差数列的求和公式，即可得到；（2）由等比数列的求和公式即可得到；
（3）运用分组求和的方法，结合等差数列和等比数列的求和公式，即可得到；
（4）由错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，即可得到；
（5）由c_n=$\frac{1}{{{a}_{n}•a}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，运用裂项相消求和即可得到．

解答 解：（1）a_n=n，由等差数列的求和公式可得，
数列{a_n}的前n项和为$\frac{1}{2}$n（n+1）；
（2）b_n=2ⁿ．由等比数列的求和公式可得，
数列{b_n}的前n项和为$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$=2ⁿ⁺¹-2；
（3）c_n=a_n+b_n=n+2ⁿ，
数列{c_n}的前n项和为$\frac{1}{2}$n（n+1）+2ⁿ⁺¹-2；
（4）c_n=a_n•b_n=n•2ⁿ，
即有前n项和T_n=2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ，
2T_n=2²+2•2³+3•2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹，
两式相减可得-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n•2ⁿ⁺¹，
化简可得，前n项和T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2；
（5）c_n=$\frac{1}{{{a}_{n}•a}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
数列{c_n}的前n项和S_n=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$
=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$n（n+1），2ⁿ⁺¹-2．

点评 本题考查等差数列和等比数列的求和公式的运用，考查数列的求和方法：分组求和、裂项相消求和和错位相减法求和，考查运算能力，属于中档题．