Question

如图，经过B（1，2）作两条互相垂直的直线l₁和l₂，l₁交y轴正半轴于点A，l₂交x轴正半轴于点C．
（1）若A（0，1），求点C的坐标；
（2）试问是否总存在经过O，A，B，C四点的圆？若存在，求出半径最小的圆的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）由直线l₁经过两点A（0，1），B（1，2），得l₁的方程为x-y+1=0．
由直线l₂⊥l₁，且直线l₂经过点B，得l₂的方程为x+y-3=0．
所以，点C的坐标为（3，0）．
（2）因为AB⊥BC，OA⊥OC，所以总存在经过O，A，B，C四点的圆，且该圆以AC为直径．
①若l₁⊥y轴，则l₂∥y轴，此时四边形OABC为矩形，．
②若l₁与y轴不垂直，则两条直线斜率都存在．不妨设直线l₁的斜率为k，则直线l₂的斜率为．
所以直线l₁的方程为y-2=k（x-1），从而A（0，2-k）；
直线l₂的方程为，从而C（2k+1，0）．
令解得，注意到k≠0，所以．
此时|AC|²=（2-k）²+（2k+1）²=5k²+5＞5，，
所以半径的最小值为．
此时圆的方程为．
分析：（1）先求l₁的方程，进而可求l₂的方程，即可得到点C的坐标；
（2）因为AB⊥BC，OA⊥OC，所以总存在经过O，A，B，C四点的圆，且该圆以AC为直径，分类讨论，确定A、C的坐标，表示出AC，即可求得结论．
点评：本题考查确定直线位置的几何要素，直线的倾斜角和斜率，过两点的直线斜率的计算公式，直线方程的点斜式，两条直线平行或垂直的判定，圆的标准方程，属于中档题．