Question

在如图所示的几何体中，三条直线AE，AC，BC两两互相垂直，且AC=BC=BD=2AE，AE∥BD，M是线段AB的中点．
（1）求证：CM⊥EM；
（2）求直线EM与平面CDE所成角的余弦值．

Answer 1

（1）证明：因为M是线段AB的中点，AC=BC
所以CM⊥AB，又AE，AC，BC两两互相垂直，
故AE⊥平面ABC，
因为CM?平面ABC，
所以AE⊥CM
因为AB∩AE=A
所以CM⊥平面ABE，
因为EM?平面ABE，
故CM⊥EM．
（2）解：设M在平面CDE的射影为H，令CH交DE于F，连接MF，EH．∠MEH为直线EM与平面CDE所成角…6′
因为CM⊥平面ABE，所以DE⊥MC，又DE⊥MH，MC∩MH=M
所以DE⊥平面MCF，故DE⊥MF，
令AE=a，M是线段AB的中点，AC=BC=BD=2a，AB=
在直角梯形ABDE中可得：ME=，
DE=3a，MD=，∴∠EMD=90°
在△DME中可得：MF=
在△FMC中可得：MH=a，∴
直线EM与平面CDE所成角的余弦值为．
分析：（1）证明CM⊥EM，可先证明CM⊥平面ABE，只需证明CM⊥AB，AE⊥CM；
（2）设M在平面CDE的射影为H，令CH交DE于F，连接MF，EH．∠MEH为直线EM与平面CDE所成角，求出ME，MH，即可求得直线EM与平面CDE所成角的余弦值．
点评：本题考查线线垂直，考查线面角，解题的关键是正确运用线面垂直的判定，正确作出线面角，属于中档题．