Question

已知

a

=(x，

3

y)，

b

=(1，0)，(

a

+

3

b

)⊥(

a

-

3

b

)．
（1）求点P（x，y）的轨迹方程；
（2）若直线l：y=kx+m（km≠0）与曲线C交于A、B两点，D（0，-1）且|

AD

|=|

BD

|，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据两个向量垂直，代入即可求得x和y的关系式．则轨迹方程可得．
（2）设有一点D在轨迹C上运动，过点D的切线与y轴交于（0，m），m取极值时，有过点D的切线⊥AD．先看D在x轴上方设切点为
（a，b），则仅当D与A点重合时满足条件，考虑M、N为不同的两点，可知m的范围；在看D在x轴上方设切点为（a，b），则切线方程可得，与y轴交点为m，进而可求得直线AD的斜率表达式，根据切线⊥AD推断出：k₁×k₂=-1，进而求得m的范围．最后综合可得答案．

解答：解：（1）∵(

a

+

3

b

)⊥(

a

-

3

b

)
∴（x+

3

，

3

y）（x-

3

，

3

y）=0
∴x²-3+3y²=0
整理得：

x2

3

+y2=1
即点Q（x，y）的轨迹C是椭圆

x2

3

+y2=1
（2）：设有一点D在轨迹C上运动，过点D的切线与y轴交于（0，m），
m取极值时，有过点D的切线⊥AD．
①D在x轴下方
显然仅当D与A点重合时满足条件，考虑M、N为不同的两点，可知m＞-1
②D在x轴上方设切点为（a，b），则有切线方程：

ax

3

+by=1，
其斜率为 k₁=-

a

3b

，与y轴交点为 m=

1

b

．
直线AD的斜率为 k₂=

(b+1)

a

由切线⊥AD：k₁×k₂=-1
即（-

a

3b

）

(b+1)

a

=-1
解得：b=

1

2

则：m=

1

b

=2
∴m≤2
综上述：-1＜m≤2

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生综合分析问题的能力．