已知椭圆C:的焦点和上顶点分别为F1.F2.B.我们称△F1BF2为椭圆C的特征三角形．如果两个椭圆的特征三角形是相似三角形.则称这两个椭圆为“相似椭圆 .且特征三角形的相似比即为相似椭圆的相似比．已知椭圆C1以抛物线的焦点为一个焦点.且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为4．(1)若椭圆C2与椭圆C1相似.且相似比为2.求椭圆C2的方程．是椭圆C1上的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

已知椭圆C：

的焦点和上顶点分别为F₁、F₂、B，我们称△F₁BF₂为椭圆C的特征三角形．如果两个椭圆的特征三角形是相似三角形，则称这两个椭圆为“相似椭圆”，且特征三角形的相似比即为相似椭圆的相似比．已知椭圆C₁

以抛物线

的焦点为一个焦点，且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为4．（1）若椭圆C₂与椭圆C₁相似，且相似比为2，求椭圆C₂的方程．
（2）已知点P（m，n）（mn≠0）是椭圆C₁上的任一点，若点Q是直线y=nx与抛物线

异于原点的交点，证明点Q一定落在双曲线4x²-4y²=1上．
（3）已知直线l：y=x+1，与椭圆C₁相似且短半轴长为b的椭圆为C_b，是否存在正方形ABCD，使得A，C在直线l上，B，D在曲线C_b上，若存在求出函数f（b）=S_ABCD的解析式及定义域，若不存在，请说明理由．

【答案】分析：（1）由题设条件知：PF₁|+|PF₂|=2a=4，所以椭圆C₁：

．设C₂：

，由相似比为2可求出椭圆C₂的方程．（2）由题设条件知

，设点Q（x，y），由题设条件能推出

，
由此可知点Q在双曲线4x²-4y²=1上．
（3）椭圆C₁：

，相似比为b，则椭圆C_b的方程为：

．由题意：只需C_b上存在两点B、D关于直线y=x+1对称即可．设BD：y=-x+m，设BD中点为E（x，y），B（x₁，y₁），D（x₂，y₂）

，然后利用根与系数的关系进行求解．
解答：解：（1）椭圆的一个焦点为

，|PF₁|+|PF₂|=2a=4，所以椭圆C₁：

设C₂：

，相似比为2，a₂=4；b₂=2，所以椭圆C₂：

（2）点P（m，n）在椭圆上，则

，设点Q（x，y）

（7分）

，
所以点Q在双曲线4x²-4y²=1上
（3）椭圆C₁：

，相似比为b，则椭圆C_b的方程为：

（11分）
由题意：只需C_b上存在两点B、D关于直线y=x+1对称即可
设BD：y=-x+m，设BD中点为E（x，y），B（x₁，y₁），D（x₂，y₂）

△=64m²-16×5×（m²-b²）＞0⇒5b²＞m²（13分）
由韦达定理知：

，

E（x，y）在直线y=x+1上，则

，所以

（15分）
此时正方形的边长为

，所以正方形的面积为

所以

点评：本题综合考查椭圆的性质及其综合应用，难度较大，解题时要认真审题，仔细解答，避免出现不必要的错误．

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