Question

已知△ABC的三内角A，B，C与所对的边a，b，c满足

2b-c

a

=

cosC

cosA

．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）如果用psinA，sinB，sinC为长度的线段能围成以psinA为斜边的直角三角形，试求实数p的取值范围．

Answer 1

分析：（I）根据正弦定理与两角和的正弦公式化简题中等式，可得2sinBcosA=sin（A+C），再根据诱导公式与三角形内角的正弦大于零，解出cosA=

1

2

，从而可得角A=

π

3

；
（II）根据题意利用勾股定理，得到p²sinA=sin²B+sin²C，利用三角恒等变换公式化简整理，得到p²=

2

3

sin（2B-

π

6

）+

4

3

．最后根据B∈（0，

2π

3

），利用正弦函数的图象与性质加以计算，得到p²∈（1，2]，由此即可算出实数p的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）∵△ABC中，

2b-c

a

=

cosC

cosA

∴根据正弦定理，得

2sinB-sinC

sinA

=

cosC

cosA

，
即cosA（2sinB-sinC）=sinAcosC，
化简得2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC=sin（A+C），
∵在△ABC中，sin（A+C）=sin（π-B）=sinB＞0，
∴2sinBcosA=sinB，可得cosA=

1

2

，
∵A∈（0，π），∴A=

π

3

；
（Ⅱ）∵用psinA，sinB，sinC为长度的线段能围成以psinA为斜边的直角三角形，
∴p²sinA=sin²B+sin²C，
∵A=

π

3

，得sinA=

3

2

，
∴

3

4

p²=sin²B+sin²C，
可得p²=

4

3

（sin²B+sin²C），
∵sin²B=

1

2

（1-cos2B），sin²C=

1

2

（1-cos2C），C=

2π

3

-B，
∴p²=

4

3

[

1

2

（1-cos2B）+

1

2

（1-cos2C）]
=

2

3

（1-cos2B）+

2

3

[1-cos（

4π

3

-2B）]=

2

3

sin（2B-

π

6

）+

4

3

．
∵B∈（0，

2π

3

），
可得2B-

π

6

∈（-

π

6

，

7π

6

），
∴sin（2B-

π

6

）∈(-

1

2

，1]，
得p²=

2

3

sin（2B-

π

6

）+

4

3

∈（1，2]
因此，实数p的取值范围是（1，

2

]．

点评：本题给出三角形的边角关系，求A的大小并依此探索直角三角形的存在问题，着重考查了正余弦定理的运用、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式与三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．