Question

10．已知向量$\overrightarrow a$=（1，2）、$\overrightarrow b$=（-1，3）、$\overrightarrow c$=λ$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$
（1）求向量$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角θ；
（2）求|$\overrightarrow c$|的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据向量夹角余弦的坐标公式能够求出cos$θ=\frac{\sqrt{2}}{2}$，由θ的范围便可得到$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角θ；
（2）先由$|\overrightarrow{c}|=\sqrt{{\overrightarrow{c}}^{2}}$表示出$|\overrightarrow{c}|=\sqrt{5（λ+1）^{2}+5}$，从而λ=-1时$|\overrightarrow{c}|$取到最小值．

解答 解：（1）∵$|\overrightarrow a|=\sqrt{5}，|\overrightarrow b|=\sqrt{10}，\overrightarrow a•\overrightarrow b=5$；
∴$cosθ=\frac{\overrightarrow a•\overrightarrow b}{|\overrightarrow a||\overrightarrow b|}=\frac{5}{{\sqrt{5}•\sqrt{10}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$；
∵0≤θ≤π，∴θ=$\frac{π}{4}$；
（2）∵$|\overrightarrow c|=\sqrt{{{（λ\overrightarrow a+\overrightarrow b）}^2}}=\sqrt{5{{（λ+1）}^2}+5}$；
∴当λ=-1时，$|\overrightarrow{c}|$取到最小值$\sqrt{5}$．

点评 考查根据坐标求向量长度，向量数量积的坐标运算，向量夹角余弦的坐标公式，以及求向量长度的方法$|\overrightarrow{c}|=\sqrt{{\overrightarrow{c}}^{2}}$，向量数量积的运算，配方求二次函数最值的方法．