Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB＞1，点E在棱AB上移动；小蚂蚁从点A沿长方体的表面爬到点C₁，所爬的最短路程为2．

                    

(1)求证：D₁E⊥A₁D；

(2)求AB的长度；

(3)在线段AB上是否存在点E，使得二面角D₁-EC-D的大小为.若存在，确定点E的位置；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解一:(1)证明:连结AD₁,由长方体的性质可知:

AE⊥平面AD₁, ∴AD₁是ED₁在平面AD₁内的射影.

又∵AD=AA₁=1，∴AD₁⊥A₁D

∴D₁E⊥A₁D₁(三垂线定理)

(2)设AB=x，∵四边形ADD₁A是正方形，

∴小蚂蚁从点A沿长方体的表面爬到点C₁

可能有两种途径，如图甲的最短路程为|AC₁|=

如图乙的最短路程为

∵x＞1   ∴x²+2x+2＞x²+2+2=x²+4

∴  ∴x=2

(3)假设存在连结DE，设EB=y，过点D在平面ABCD内作DH⊥EC，连结D₁H，则∠D₁HD为二面角D₁-EC-D的平面角，∴∠D₁HD=

∴DH=DD₁=1

在Rt△EBC内，EC=，而EC·DH=DC·AD

即解得y=.

即存在点E，且离点B为时，二面角D₁-EC-D的大小为.

解法二：(1)如图建立空间坐标系

设AE=a

则E(1，a，0)，D₁(0，0，1)，A₁(1，0，1)，

∴=(1，0，1)，=(1，a，-1)

∴·=1×1+0×a+1×(-1)=0

∴D₁E⊥A₁D

(2)同解法一

(3)假设存在，平面DEC的法向量n₁=(0，0，1)

=(0，2，-1)

设平面D₁EC的法向量n₂=(x，y，z)，则

即，解得：∴n₂=(2-a,1,2) 

由题意得cos(n₁,n₂)=

解得：a=2-或a=2+  (舍去)

即当点E离B为时，二面角D₁-EC-D的大小为.