Question

设数列{a_n}为等差数列，其前n项和为S_n，已知a₁+a₄+a₇=60，a₂+a₅+a₈=51，若对任意n∈N^*，都有S_n＜S_k成立，则k的值为

10

．

Answer 1

分析：利用等差数列的性质可求得a₄、a₅、的值，从而可求得其公差d=-3，继而可求得a_n，s_n，s_k，利用任意n∈N^*，都有S_n＜S_k成立，可求得k的值．

解答：解：∵数列{a_n}为等差数列，a₁+a₄+a₇=60，a₂+a₅+a₈=51，
∴3a₄=60，3a₅=51，
∴a₄=20，a₅=17，设等差数列{a_n}的公差为d，则d=a₅-a₄=-3，
∴a_n=a₄+（n-4）d=20+（n-4）×（-3）=32-3n．
对任意n∈N^*，都有S_n＜S_k成立，则s_k为前n项和的最大值，
∴

an≥0 an+1≤0

即

32-3n≥0 32-3(n+1)≤0

解得

29

3

≤n≤

32

3

，又n∈N*，
∴n=10．
故答案为：10．

点评：本题考查等差数列的前n项和，着重考查等差数列的通项公式与求和公式，特别是“对任意n∈N^*，都有S_n＜S_k成立”的含义的理解--s_k为前n项和的最大值．属于难题．
属于中档题．