Question

已知函数
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若?x₁∈[1，e]，?x₀∈[1，e]，f（x₁）=g（x₀），求a的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=ax-lnx，∴．
当a≤0时，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上是减函数；
当a＞0时，令f′（x）=0，得x=，当x∈（0，]时，f′（x）≤0，此时f（x）为减函数；
当x∈[）时，f′（x）≥0，此时f（x）为增函数．
∴当a≤0时，f（x）的递减区间是（0，+∞）；
当a＞0时，f（x）的递减区间是（0，]，递增区间是[，+∞）．
（2）当x∈[1，e）时，g′（x）=≥0，
∴g（x）在[1，e）上是增函数，
∴g（x）∈，．
设f（x），g（x0在[1，e]上的值域分别为A，B，
由题意，得A⊆B，
当a≤0时，f（x）在[1，e]上是减函数，∴A=[ae-1，a]，此时a不存在；
当a＞0时，若，即0＜a时，f（x）在[1，e]上是减函数，
∴A=[ae-1，a]，
∴，此时a不存在．
若1，即时，
f（x）在[1，]上是减函数，在[，e]上是增函数．
∴，
∴，解得．
若，即a＞1时，f（x）在[1，e]上是增函数，∴A=[a，ae-1]．
∴，此时a不存在．
综上，a∈[，]．
分析：（1）由f（x）=ax-lnx，知．再由实数a的取值范围进行分类讨论，能够求出f（x）的单调区间．
（2）当x∈[1，e）时，g′（x）=≥0，故g（x）在[1，e）上是增函数，所以g（x）∈，．设f（x），g（x0在[1，e]上的值域分别为A，B，由题意，得A⊆B，由此入手进行分类讨论，能够求出实数a的取值范围．
点评：本题考查函数的单调区间的求法，考查实数的取值范围的求法，综合性强，难度大，计算繁琐，解题时要认真审题，仔细解答，注意分类讨论思想的合理运用．