Question

如图,在底面是矩形的四棱锥P—ABCD中,PA⊥底面ABCD,PA=AB=1,BC=2.

(1)求证:平面PDC⊥平面PAD;

(2)若E是PD的中点,求异面直线AE与PC所成角的余弦值;

(3)在BC边上是否存在一点G,使得D点到平面PAG的距离为1?若存在,求出BG的值;若不存在,请说明理由.

Answer 1

证明:以A为原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,2,0),E(0,1,),P(0,0,1).

    ∴=(-1,0,0), =(0,2,0),=(0,0,1), =(0,1,), =(1,2,-1).

    (1)平面PDC⊥平面PAD.

    (2)∵cos〈,〉===,

    ∴所求角的余弦值为.

    (3)假设BC边上存在一点G满足题设条件,令BG=x(0≤x≤2),则G(1,x,0),作DQ⊥AG,垂足为Q,则DQ⊥平面PAG,即DQ=1.

    ∵2S_△ADG=S_矩形ABCD,

    ∴||·||=||·||=2.∴||=2.

    又AG=,∴x=＜2.

    故存在点G,当BG=3时,使点D到平面PAG的距离为1.