Question

已知lg(7•2x+8)≥log

10

2x，求函数f(x)=log

1

2

x•log

1

2

x

4

的最值及对应x的值．

Answer 1

分析：由lg(7•2x+8)≥log

10

2x可知7•2^x+8≥2^2x，从而出x的取值范围，进而求出log

1

2

x的取值范围，最终求出函数f(x)=log

1

2

x•log

1

2

x

4

=log

1

2

x(log

1

2

x+2)最值及对应x的值．

解答：解：∵lg(7•2x+8)≥log

10

2x，∴7•2^x+8≥2^2x，解得x≤3．∴log

1

2

x≥log

1

2

3．
∴函数f(x)=log

1

2

x•log

1

2

x

4

=log

1

2

x(log

1

2

x+2)=(log

1

2

x)2+2log

1

2

x=(log

1

2

x+1)2-1
∴当log

1

2

x=-1时，函数f(x)=log

1

2

x•log

1

2

x

4

的最小值为-1，此时x=2．

点评：本题是对数函数的最值问题，在解题过程中要注意不等式的求解和二次函数最值的运用．