Question

【题目】徐州、苏州两地相距500千米，一辆货车从徐州匀速行驶到苏州，规定速度不得超过100千米/小时．已知货车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（千米/时）的平方成正比，比例系数为0.01；固定部分为a元（a＞0）．
（1）把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域；
（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？

Answer 1

【答案】解：（1）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为，全程运输成本为y=a×+0.01v2×=+5v
故所求函数及其定义域为y=+5v，v∈（0，100]
（2）依题意知a，v都为正数，故有+5v，当且仅当=5v，即v=10时，等号成立
①若10≤100，即0＜a≤100时，则当v=10时，全程运输成本y最小．
②若10＞100，即a＞100时，则当v∈（0，100]时，有y′=﹣+5=．
∴函数在v∈（0，100]上单调递减，也即当v=100时，全程运输成本y最小．
综上知，为使全程运输成本y最小，当0＜a≤100时行驶速度应为v=10千米/时；当a＞100时行驶速度应为v=100千米/时．
【解析】（1）求出汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间，根据货车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，即可得到全程运输成本，以及函数的定义域；
（2）利用基本不等式可得+5v ， 当且仅当=5v，即v=10时，等号成立，再进行分类讨论即可得出结论．