Question

（2012•宁国市模拟）已知数列{a_n}满足：a₁=1；a_n+1-a_n=1，n∈N^*．数列{b_n}的前n项和为S_n，且S_n+b_n=2，n∈N^*．
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）令数列{c_n}满足c_n=a_n•b_n，求其前n项和为T_n．

Answer 1

分析：（1）数列{a_n}为等差数列，首项为1，公差为1；根据S_n+b_n=2，再写一式，两式相减，化简可得数列{b_n}为等比数列，从而可求数列的通项；
（2）由已知得：cn=n•

1

2n-1

，利用错位相减法求和即可．

解答：解：（1）由已知a₁=1；an+1-an=1，n∈N*，
∴数列{a_n}为等差数列，首项为1，公差为1．
∴其通项公式为a_n=n…（3分）
∵S_n+b_n=2，∴S_n+1+b_n+1=2，
两式相减，化简可得

bn+1

bn

=

1

2

，
∴数列{b_n}为等比数列，
又S₁+b₁=2，
∴b₁=1，
∴bn=

1

2n-1

…（7分）
（2）由已知得：cn=n•

1

2n-1

∴Tn=1+

2

2

+

3

22

+…+

n

2n-1

，
∴

1

2

Tn=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n-1

2n-1

+

n

2n

∴

1

2

Tn=1+

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n-1

-

n

2n

=

1- 1 2n

1- 1 2

-

n

2n

=2(1-

1

2n

)-

n

2n

…（11分）
∴Tn=4(1-

1

2n

)-

n

2n-1

=4-

2+n

2n-1

…（13分）

点评：本题考查数列的通项，考查数列的求和，解题的关键是确定数列为特殊数列，正确运用通项及求和公式，属于中档题．