Question

已知点（1，3）、（a_n，a_n+1）（n∈N^*）都在函数f（x）=px+2（p为常数）的图象上，a₁=1，数列{b_n}满足：bn=an+

1

n(n+1)

（n∈N^*）．
（I）求数列{a_n}的通项公式；   
（II）求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（I）将点（1，3）、（a_n，a_n+1）代入f（x）=px+2，可得数列{a_n}是以2为公差的等差数列，从而可得结论；
（II）利用分组求和，可得结论．

解答：解：（I）∵点（1，3）、（a_n，a_n+1）在f（x）=px+2的图象上
∴3=p+2，a_n+1=pa_n+2
∴p=1，a_n+1-a_n=2
∴数列{a_n}是以2为公差的等差数列，
∵a₁=1，d=2，∴a_n=a₁+（n-1）d=2n-1；
（II）∵bn=an+

1

n(n+1)

=2n-1+（

1

n

-

1

n+1

）
∴S_n=[1+3+…+（2n-1）]+[（1-

1

2

）+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]=n2+

n

n+1

．

点评：本题考查等差数列的判断，考查数列的通项与求和，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．