Question

已知指数函数f（x）=a^x（a＞0且a≠1）．
（1）求f（x）的反函数g（x）的解析式；（2）解不等式：g（x）≤log_a（2-3x）．

Answer 1

解：（1）由y=a^x得x=log_ay且y＞0，
即：y=log_ax，x＞0，
所以函数y=a^x的反函数是g（x）=log_ax（a＞0且a≠1）
（2）解：∵a＞1，log_ax≤log_a（2-3x）．
∴2-3x≥x＞0
∴0＜x；
∵1＞a＞0，log_ax≤log_a（2-3x）．
∴0＜2-3x≤x
∴≤x＜．
∴a＞1原不等式的解集为；0＜a＜1时，不等式的解集为．
分析：（1）将y=a^x作为方程利用指数式和对数式的互化解出x，然后确定原函数的值域即得反函数的值域，问题得解．
（2）由a＞1，g（x）≤log_a（2-3x），可得2-3x≥x＞0，解不等式组可求；当1＞a＞0，log_ax≤log_a（2-3x）．可得0＜2-3x≤x，最后综合即可．
点评：本题属于基础性题，思路清晰、难度小，但解题中要特别注意指数式与对数式的互化，考查了利用对数函数的单调性解不等式，二次不等式的求解，解题中要注意，对对数的真数大于0的限制是解题中容易漏掉的考虑．