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如图所示,已知二次函数y=-x2+9,矩形ABOC的顶点A在第一象限内,且A在抛物线上,顶点B、C分别在y轴、x轴上,设点A的坐标为(x,y).
(1)试求矩形ABOC的面积S关于x的函数解析式S=S(x),并求出该函数的定义域;
(2)是否存在这样的矩形ABOC,使它的面积为6,并证明你的结论.

【答案】分析:(1)由点A在第一象限内,知AC=y=-x2+9,AB=x,由此能求出求出该函数的定义域.
(2)假设存在x,使得-x3+9x=6,令:g(x)=x3-9x+6,由此能导出存在这样的矩形ABOC,使它的面积为6.
解答:解:(1)∵点A在第一象限内,
∴AC=y=-x2+9,AB=x(2分)
∴S=S(x)=AC•AB=-x3+9x
其定义域为:0<x<3.(5分)
(2)假设存在x,使得-x3+9x=6
令:g(x)=x3-9x+6
∵g(0)=6>0且g(1)=-2<0(8分)
∴函数g(x)在区间(0,1)内有零点,
∴存在这样的矩形ABOC,
使它的面积为6.(10分)
点评:本题考查函数的解析式及其求法,解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地进行等价转化.
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