精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
已知点F是椭圆
x2
1+a2
+y2=1(a>0)
右焦点,点M(m,0)、N(0,n)分别是x轴、y轴上的动点,且满足
MN
NF
=0
,若点P满足
OM
=2
ON
+
PO

(1)求P点的轨迹C的方程;
(2)设过点F任作一直线与点P的轨迹C交于A、B两点,直线OA、OB与直线x=-a分别交于点S、T(其中O为坐标原点),试判断
FS
FT
是否为定值?若是,求出这个定值;若不是,请说明理由.
分析:(1)设点P(x,y),由题意可知,点F的坐标为(a,0),
MN
NF
=-am-n2=0
,由
OM
=2
ON
+
PO
x=-m
y=2n
,消去n与m可得y2=4ax.
(2)设过F点的直线l方程为:y=k(x-a),与轨迹C交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,得:k2x2-(2ka+4a)x+k2a2=0,则x1x2=a2,y1y2=-4a2.得直线OA的方程为:y=
y1
x1
x
,所以点S为(-a,-
y1
x1
a)
;同理得点T为(-a,-
y2
x2
a)
;表示出
FS
FT
即可得到答案.
解答:解:(1)设点P(x,y),由题意可知,点F的坐标为(a,0),
MN
=(-m,n)
NF
=(a,-n)
MN
NF
=-am-n2=0
①,
OM
=2
ON
+
PO
得:(x,y)=(-m,2n),即
x=-m
y=2n
②,
将②式代入①式得:y2=4ax
(2)设过F点的直线l方程为:y=k(x-a),与轨迹C交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,
联立
y2=4ax
y=k(x-a)
得:k2x2-(2ka+4a)x+k2a2=0,
则x1x2=a2y1y2=-
16a2x1x2
=-4a2

由于直线OA的方程为:y=
y1
x1
x
,则点S的坐标为(-a,-
y1
x1
a)

同理可得点T的坐标为(-a,-
y2
x2
a)

FS
=(-2a,-
y1
x1
a)
FT
=(-2a,-
y2
x2
a)

FS
FT
=4a2+
y1y2
x1x2
a2=0
点评:解决此类题目的关键是熟练掌握求轨迹方程的方法(消参法),以及设点利用点表示有关的向量的表达式即可,此题对计算能力要求较高.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源:深圳一模 题型:解答题

已知点F是椭圆
x2
1+a2
+y2=1(a>0)
右焦点,点M(m,0)、N(0,n)分别是x轴、y轴上的动点,且满足
MN
NF
=0
,若点P满足
OM
=2
ON
+
PO

(1)求P点的轨迹C的方程;
(2)设过点F任作一直线与点P的轨迹C交于A、B两点,直线OA、OB与直线x=-a分别交于点S、T(其中O为坐标原点),试判断
FS
FT
是否为定值?若是,求出这个定值;若不是,请说明理由.

查看答案和解析>>

同步练习册答案