Question

【题目】已知O为△ABC的外心，且 ． ①若∠C=90°，则λ+μ=；
②若∠ABC=60°，则λ+μ的最大值为 ．

Answer 1

【答案】；
【解析】解：①若∠C=90°，则O是斜边AB的中点，如图①所示：
∴ = ，
∴λ= ，μ=0，
∴λ+μ= ；②设△ABC的外接圆半径为1，以外接圆圆心为原点建立坐标系：

∵∠ABC=60°，∴AOC=120°，
设A（1，0），C（﹣ ， ），B（x，y），
则 =（1﹣x，﹣y）， =（﹣ ﹣x， ﹣y）， =（﹣x，﹣y），
∵ ，
∴ ，解得 ，
∵B在圆x2+y2=1上，
∴（ ）2+（ ）2=（λ+μ﹣1）2 ，
∴λμ= ≤（ ）2 ，
∴ （λ+μ）2﹣ （λ+μ）+ ≥0，
解得λ+μ≤ 或λ+μ≥2，
∵B只能在优弧 上，∴λ+μ≤ ，
即λ+μ得最大值为 ．
所以答案是：（1） ，（2） ．
【考点精析】利用平面向量的基本定理及其意义对题目进行判断即可得到答案，需要熟知如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数、，使．