Question

一个盒子装有6张卡片，上面分别写着如下6个定义域为R的函数：，，，f₄（x）=sinx，f₅（x）=cosx，f₆（x）=2．
（Ⅰ）现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到一个新函数，求所得的新函数是奇函数的概率；
（Ⅱ）现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

解：（Ⅰ）设A表示“从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加，所得的新函数是奇函数”，
∵是奇函数，
是偶函数，
是奇函数，
f₄（x）=sinx是奇函数，
f₅（x）=cosx是偶函数，
f₆（x）=2是偶函数．
∴P（A）==．
（Ⅱ）由题设知ξ可取1，2，3，4，
P（ξ=1）==，
P（ξ=2）==，
P（ξ=3）=••=，
P（ξ=4）=••=，
∴ξ的分布列是：

ξ	1	2	3	4
P

Eξ==．
分析：（Ⅰ）设A表示“从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加，所得的新函数是奇函数”，由是奇函数，是偶函数，是奇函数，f₄（x）=sinx是奇函数，f₅（x）=cosx是偶函数，f₆（x）=2是偶函数，能求出所得的新函数是奇函数的概率．
（Ⅱ）由题设知ξ可取1，2，3，4，分别求出P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3），P（ξ=4）的值，由此能求出抽取次数ξ的分布列和数学期望．
点评：本题考查离散型随机变量的数学期望和方差，是历年高考的必考题型，解题时要认真审题，仔细解答，注意概率知识的合理运用．