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    求证：
    1
    n+1
    +
    1
    n+2
    +…+
    1
    3n
    ＞
    5
    6
    （n≥2，n∈N*）．
    分析：在证明当n=k+1时，利用归纳假设和放缩法得到：左边=
    1
    (k+1)+1
    +
    1
    (k+1)+2
    +    …+
    1
    3k
    +
    1
    3k+1
    +
    1
    3k+2
    +
    1
    3(k+1)
    =
    1
    k+1
    +
    1
    k+2
    +    …+
    1
    3k
    +    (
    1
    3k+1
    +
    1
    3k+2
    +
    1
    3k+3
    -
    1
    k+1
    )
    ＞
    5
    6
    +    (3×
    1
    3k+3
    -
    1
    k+1
    )    即可．
    解答：证明：（1）当n=2时，左边=
    1
    3
    +
    1
    4
    +
    1
    5
    +
    1
    6
    =
    57
    60
    ＞
    50
    60
    =
    5
    6
    ，不等式成立；
    （2）假设n=k（k≥2，k∈N*）时命题成立，即
    1
    k+1
    +
    1
    k+2
    +…+
    1
    3k
    ＞
    5
    6
    成立．
    则当n=k+1时，左边=
    1
    (k+1)+1
    +
    1
    (k+1)+2
    +    …+
    1
    3k
    +
    1
    3k+1
    +
    1
    3k+2
    +
    1
    3(k+1)

    =
    1
    k+1
    +
    1
    k+2
    +    …+
    1
    3k
    +    (
    1
    3k+1
    +
    1
    3k+2
    +
    1
    3k+3
    -
    1
    k+1
    )
    ＞
    5
    6
    +    (3×
    1
    3k+3
    -
    1
    k+1
    )    =
    5
    6
    ．
    所以当n=k+1时不等式也成立．
    综上由（1）（2）可知：原不等式对任意n≥2（n∈N*）都成立．
    点评：熟练掌握数学归纳法证明的步骤及其放缩法是解题的关键．
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    1
    2
    +
    1
    3
    +…+
    1
    n
    (n∈N+)    ；
    （3）若|m|≥2，试比较：ln(1+
    1
    1×2
    )+ln(1+
    1
    2×3
    )+…+ln[1+
    1
    n×(n+1)
    ]+
    1
    n+1
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    1
    n+1
    +
    1
    n+2
    +
    1
    n+3
    +…+
    1
    2n
    ＞
    1
    2
    ．

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    1
    2
    +
    1
    3
    +…+
    1
    n-1
    +
    1
    n
    ＞ln(n+1)，(n∈N*)    ；
    （Ⅲ）对于函数h(x)=
    1
    2
    x2与g(x)=elnx    ，是否存在公共切线y=kx+b（常数k，b）使得h（x）≥kx+b和g（x）≤kx+b在函数h（x），g（x）各自定义域上恒成立？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由．

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    求证：
    1
    n+1
    +
    1
    n+2
    +…+
    1
    3n
    ＞
    5
    6
    （n≥2，n∈N*）．

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