Question

（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为

x=t y=4+t

（t为参数），以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标，曲线C的极坐标方程为ρ=4

2

sin(θ+

π

4

)，则直线l和曲线C的公共点有

1

个．

Answer 1

分析：把参数方程化为普通方程，得到方程表示一条直线．把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，表示一个圆．圆心到直线的距离等于半径，可得直线和圆相切，从而得到结论．

解答：解：把直线l的参数方程

x=t y=4+t

（t为参数），消去参数化为直角坐标方程为 x-y+4=0，表示一条直线．
曲线C的极坐标方程为ρ=4

2

sin(θ+

π

4

)，即 ρ²=4

2

ρ（

2

2

sinθ+

2

2

cosθ），即 x²+y²=4y+4x，
即 （x-2）²+（y-2）²=8，表示以（2，2）为圆心，以r=2

2

为半径的圆．
圆心到直线的距离等于 d=

|2-2+4|

2

=2

2

=半径r，故直线和圆相切，故直线l和曲线C的公共点的个数为 1，
故答案为 1．

点评：本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，直线和圆的位置关系的判定，属于基础题．