Question

正四面体的各条棱长为a，点P在棱AB上移动，点Q在棱CD上移动，则点P和点Q的最短距离是（　　）

• A、

  1

  2

  a
• B、

  2

  2

  a
• C、

  3

  2

  a
• D、

  3

  4

  a

Answer 1

分析：根据正四面体的几何特征，可得当P为AB的中点，Q为CD的中点时，PQ为异面直线AB与CD的公垂线段，取最小值．

解答：解：∵正四面体A-BCD棱长为a，点P在AB上移动，点Q在CD上移动，
∴当PQ为异面直线AB与CD的公垂线段时，PQ取最小值．
由正四面体的几何特征可得，此时P为AB的中点，Q为CD的中点
在Rt△PBQ中，PB=

a

2

，BQ=

3 a

2

，
则PQ=

BQ2-PB2

=

2

2

a．
故选B．

点评：本题以正四面体为载体，考查棱锥的结构特征，其中根据棱锥的结构特征，判断出当P为AB的中点，Q为CD的中点时，PQ为异面直线AB与CD的公垂线段，取最小值，是解答本题的关键．