Question

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，所有棱长都相等，点D，E分别是BC与B₁C₁的中点．
（1）求证：平面A₁EB∥平面AC₁D；
（2）若点M在棱BB₁上，且BM=，求证：平面AMD⊥平面AC₁D．

Answer 1

证明：（1）在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，因为D，E分别是BC，B₁C₁的中点，
可知BD∥EC₁，BD=EC₁，则EBDC₁为平行四边形，
故EB∥DC₁，
∵EB?平面AC₁D，DC₁?平面AC₁D，
∴EB∥平面AC₁D
又AA₁∥BB₁∥ED，AA₁=BB₁=ED
∴AA₁DE为平行四边形
∴A₁E∥AD，
∵A₁E?平面AC₁D，AD?平面AC₁D，
∴A₁E∥平面AC₁D，
又EB∩A₁E=E，EB，A₁E?平面A₁EB
∴平面A₁EB∥平面AC₁D…（7分）
（2）∵D是BC的中点，且AB=AC
∴AD⊥BC，又面ABC⊥面B₁BCC₁，面ABC∩面面B₁BCC₁=BC
∴AD⊥面面B₁BCC₁，从而AD⊥DM，AD⊥DC₁
∴∠MDC₁为二面角M-AD-C₁的平面角
设正三棱柱的棱长为1，可求DM=，DC₁=，MC₁₌
有DM²+DC₁²=CC₁²，
∴∠MDC₁为=
∴平面平面AMD⊥平面AC₁D．…（14分）
分析：（1）由正三棱柱的几何特征，及三角形中位线定理，可得EBDC₁和AA₁DE均为平行四边形，进而得到EB∥DC₁，A₁E∥AD，由线面平行的判定定理可得EB∥平面AC₁D，A₁E∥平面AC₁D，进而由面面平行的判定定理得到平面A₁EB∥平面AC₁D；
（2）D是BC的中点，且AB=AC，结合等腰三角形三线合一可得：AD⊥BC，由面ABC⊥面B₁BCC₁，结合面面垂直的性质可得AD⊥面面B₁BCC₁，从而AD⊥DC₁，则∠MDC₁为二面角M-AD-C₁的平面角，解三角形MDC₁可得答案．
点评：本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定，熟练掌握空间直线与平面关系的判定，性质及几何特征是解答的关键．