第一问由函数
在
处取得极值.
说明了?′(1)= ?′(-1)=0,得到a,b的值,并代入原式中,判定函数的单调性,得到极值问题。
第二问中,要求过点
作曲线
的切线,先设出切点坐标,然后结合导数的几何意义得到斜率,表示切线方程,再将A点代入方程中得到点的坐标,求解得到。
解:(1)?′(x)=3ax
2+2bx-3,依题意,?′(1)= ?′(-1)=0,即
3a+2b-3=0,
3a-2b-3=0.解得a=1, b="0."
∴?(x)=x
3-3x,?′(x)=3x
2-3=3(x+1)(x-1).
令?′(x)=0,得x
1=-1,x
2=1.
若x∈(-∞,-1)∪(1,+∞),则?′(x)>0,故?(x)在(-∞,-1),(1,+∞)上是增函数.
若x∈(-1,1),则?′(x)<0,故?(x)在(-1,1)上是减函数.
所以?(-1)=2是极大值,?(1)=-2是极小值.
(1)曲线方程为y=x
3-3x,点A(0,16)不在曲线上,设切点为M(x
0,y
0)
则点M的坐标满足y
0= x
03-3x
0,
因为f’(x
0)=3(x
02-1),故切线方程为
y-y
0=3(x
02-1)(x-x
9)
因为点A在曲线上,则可知16-(x
03-3x
0)=3(x
02-1)(x-x
9)
化简得到x
0=-2,
所以切点坐标为M(-2,-2),切线方程为9x-y+16=0