Question

【题目】已知m＞1，直线l：x﹣my﹣ =0，椭圆C： +y2=1，F1、F2分别为椭圆C的左、右焦点．
（Ⅰ）当直线l过右焦点F2时，求直线l的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，△AF1F2 ， △BF1F2的重心分别为G、H．若原点O在以线段GH为直径的圆内，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）因为直线l：x﹣my﹣ =0，经过F2（ ，0），

所以 = ，得m2=2，

又因为m＞1，所以m= ，

故直线l的方程为x﹣ y﹣1=0．

（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．

由 ，消去x得

2y2+my+ ﹣1=0

则由△=m2﹣8（ ﹣1）=﹣m2+8＞0，知m2＜8，

且有y1+y2=﹣ ，y1y2= ﹣ ．

由于F1（﹣c，0），F2（c，0），故O为F1F2的中点，

由 ， =2 ，可知G（ ， ），H（ ， ）

|GH|2= +

设M是GH的中点，则M（ ， ），

由题意可知2|MO|＜|GH|

即4[（ ）2+（ ）2]＜ + 即x1x2+y1y2＜0

而x1x2+y1y2=（my1+ ）（my2+ ）+y1y2=（m2+1）（ ）

所以（ ）＜0，即m2＜4

又因为m＞1且△＞0

所以1＜m＜2．

所以m的取值范围是（1，2）．

【解析】（Ⅰ）由题意可得，把点F2（ ，0）代入直线方程解出m的值，进而得到直线的方程。
（Ⅱ）利用设而不求法，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与椭圆的方程，消去x得到关于y的一元二次次函数，判别式大于零以及根与系数的关系求出y1+y2、y1y2的表达式，再利用可得G（ ， ），H（ ， ）,表示出再利用M是GH的中点，进而可表示出M的坐标，根据2|MO|＜|GH|整理可得，x1x2+y1y2<0，再把x1x2和y1y2的表达式代入求得m的取值范围，根据题意整理可得1＜m＜2。