Question

1．（理）已知△ABC中，若sinA=m，sinB=n，当m、n满足条件m、n有且只有一个为1时（只需写出满意的一个条件），cosC具有唯一确定的值．

Answer 1

分析 由题意和正弦定理可得$\frac{sinA}{a}$=$\frac{sinB}{b}$=$\frac{sinC}{c}$=k，可得a=$\frac{m}{k}$，b=$\frac{n}{k}$，c=$\frac{sinC}{k}$，代入余弦定理可得2abcodC=a₂+b²-c²，由关于cosC的二次方程有唯一的解可得．

解答 解：∵△ABC中sinA=m，sinB=n，
由正弦定理可得$\frac{sinA}{a}$=$\frac{sinB}{b}$=$\frac{sinC}{c}$=k，
∴a=$\frac{m}{k}$，b=$\frac{n}{k}$，c=$\frac{sinC}{k}$，
再由余弦定理可得2abcodC=a₂+b²-c²，
∴$\frac{2mn}{{k}^{2}}$cosC=$\frac{{m}^{2}}{{k}^{2}}$+$\frac{{n}^{2}}{{k}^{2}}$-$\frac{si{n}^{2}C}{{k}^{2}}$=$\frac{{m}^{2}+{n}^{2}-（1-co{s}^{2}C）}{{k}^{2}}$，
∴2mncosC=m²+n²-1+cos²C，即cos²C-2mncosC+（m²+n²-1）=0，
由cosC具有唯一确定的值可得△=4m²n²-4（m²+n²-1）=0，
整理可得（m²-1）（n²-1）=0，m、n不可能同时为1，
∴当m、n有且只有一个为1即该三角形为直角三角形时，cosC具有唯一确定的值．
故答案为：m、n有且只有一个为1

点评 本题考查解三角形，涉及正余弦定理和一元二次方程根的存在性，属中档题．