Question

若函数f_A（x）的定义域为A=[a，b)，且fA(x)=(

x

a

+

b

x

-1)2-

2b

a

+1，其中a、b为任意正实数，且a＜b．
（1）当A=[4，7）时，研究f_A（x）的单调性（不必证明）；
（2）写出f_A（x）的单调区间（不必证明），并求函数f_A（x）的最小值、最大值；
（3）若x₁∈I_k=[k²，（k+1）²），x₂∈I_k+1=[（k+1）²，（k+2）²），其中k是正整数，对一切正整数k不等式fIk(x1)+fIk+1(x2)＜m都有解，求m的取值范围．

Answer 1

（1）当A=[1，4)时，fA=(x+

4

x

-1)2-7…（2分）
∵x+

4

x

∈[4，5]，∴当x∈[1，2]时f_A（x）是减函数，当x∈[2，4）时f_A（x）是增函数 …（4分）
（2）fA(x)=(

x

a

+

b

x

-1)2-

2b

a

+1在x∈[a，

ab

]上fA是减函数；在x∈[

ab

，b)上f_A是增函数．
∴当x=

ab

时fA(x)有最小值为(2

b a

-1)2-

2b

a

+1=

2b

a

-4

b a

+2=2(

b a

-1)2…（8分）
当x=a时f_A（x）有最大值为(

b

a

)2-

2b

a

+1=

b2

a2

-

4b

a

+1=(

b

a

-1)2…（10分）
（3）当A=I_k时fIk(x)最小值为fIk(k(k+1))=

2

k2

当A=I_k+1时fIk+1(x)最小值为fIk+1((k+1)(k+2))=

2

(k+1)2

…（12分）
∴m＞

2

k2

+

2

(k+1)2

（k∈N*）…（14分）
设 t=

2

k2

+

2

(k+1)2

，(k∈N*)，则  tmax=

5

2

，∴m＞

5

2

…（16分）