Question

1．已知点A、B分别是左焦点为（-4，0）的椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右顶点，且椭圆C过点P（$\frac{3}{2}$，$\frac{5\sqrt{3}}{2}$）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知F是椭圆C的右焦点，以AF为直径的圆记为圆M，过P点能否引圆M的切线？若能，求出这条切线与x轴及圆M的弦PF所对的劣弧围成的图形面积；若不能，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题设知a²=b²+16，$\frac{9}{4{a}^{2}}$+$\frac{75}{4{b}^{2}}$=1，由此能求出椭圆C的标准方程．
（2）由A（-6，0），F（4，0），（$\frac{3}{2}$，$\frac{5\sqrt{3}}{2}$），则得$\overrightarrow{AP}$=（$\frac{15}{2}$，$\frac{5\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{FP}$=（-$\frac{5}{2}$，$\frac{5\sqrt{3}}{2}$），所以$\overrightarrow{AP}$$•\overrightarrow{FP}$=0，以AF为直径的圆M必过点P，因此，过P点能引出该圆M的切线，设切线为PQ，交x轴于Q点，又AF的中点为M（-1，0），则显然PQ⊥PM，由此能求出所求的图形面积．

解答 解：（1）由题意a²=b²+16，
$\frac{9}{4{a}^{2}}$+$\frac{75}{4{b}^{2}}$=1，
解得b²=20或b²=-15（舍），
由此得a²=36，
所以，所求椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{36}+\frac{{y}^{2}}{20}$=1．（6分）
（2）由（1）知A（-6，0），F（4，0），
又（$\frac{3}{2}$，$\frac{5\sqrt{3}}{2}$），则得$\overrightarrow{AP}$=（$\frac{15}{2}$，$\frac{5\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{FP}$=（-$\frac{5}{2}$，$\frac{5\sqrt{3}}{2}$）．
所以$\overrightarrow{AP}$$•\overrightarrow{FP}$=0，即∠APF=90°，△APF是Rt△，
所以，以AF为直径的圆M必过点P，因此，过P点能引出该圆M的切线，
设切线为PQ，交x轴于Q点，又AF的中点为M（-1，0），则显然PQ⊥PM，
而k_PM=$\sqrt{3}$，所以PQ的斜率为-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
因此，过P点引圆M的切线方程为：y-$\frac{5\sqrt{3}}{2}$=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-$\frac{3}{2}$），即x+$\sqrt{3}$y-9=0．
令y=0，则x=9，∴Q（9，0），又M（-1，0），
所以S_扇形MPF=$\frac{1}{2}×5×5×\frac{π}{3}$=$\frac{25π}{6}$，
因此，所求的图形面积是S=S_△PQM-S_扇形MPF=$\frac{75\sqrt{3}-25π}{6}$．

点评 本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．