Question

11．设S_n为数列{a_n}的前n项和，S_n=（-1）ⁿa_n-$\frac{1}{2^n}$，n∈N^*，则S₁+S₂+…+S₂₀₁₆=$\frac{1}{3}（\frac{1}{{{2^{2016}}}}-1）$．

Answer 1

分析 由数列递推式分类求出数列{a_n}的通项，把要求和的式子转化为含有通项的式子，然后利用分组求和得答案．

解答 解：由S_n=（-1）ⁿa_n-$\frac{1}{2^n}$，∈N^*，
当n=1时，有${a}_{1}=（-1）^{1}{a}_{1}-\frac{1}{2}$，得${a}_{1}=\frac{1}{4}$．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（-1）ⁿa_n-$\frac{1}{2^n}$-$（-1）^{n-1}{a}_{n-1}-\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
即${a}_{n}=（-1）^{n}{a}_{n}+（-1）^{n}{a}_{n-1}+\frac{1}{{2}^{n}}$，
若n为偶数，则${a}_{n-1}=-\frac{1}{{2}^{n}}$（n≥2）．
∴${a}_{n}=-\frac{1}{{2}^{n+1}}$（n为正奇数）；
若n为奇数，则${a}_{n-1}=-2{a}_{n}+\frac{1}{{2}^{n}}$=（-2）•（-$\frac{1}{{2}^{n+1}}$）+$\frac{1}{{2}^{n}}$=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$．
∴${a}_{n}=\frac{1}{{2}^{n}}$（n为正偶数）．
∵${a}_{n}=-\frac{1}{{2}^{n+1}}$（n为正奇数），∴$-{a}_{1}=-（-\frac{1}{{2}^{2}}）=\frac{1}{{2}^{2}}$，
又${a}_{n}=\frac{1}{{2}^{n}}$（n为正偶数），∴${a}_{2}=\frac{1}{{2}^{2}}$．
则$-{a}_{1}+{a}_{2}=2×\frac{1}{{2}^{2}}$．
$-{a}_{3}=-（-\frac{1}{{2}^{4}}）=\frac{1}{{2}^{4}}$，${a}_{4}=\frac{1}{{2}^{4}}$．
则$-{a}_{3}+{a}_{4}=2×\frac{1}{{2}^{4}}$．
…
-$-{a}_{2013}+{a}_{2014}=2×\frac{1}{{2}^{2014}}$．
S₁+S₂+S₃+S₄+…+S₂₀₁₆
=（-a₁+a₂）+（-a₃+a₄）+…+（-a₂₀₁₅+a₂₀₁₆）-（$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+…+\frac{1}{{2}^{2016}}$）
=2（$\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+…+\frac{1}{{2}^{2016}}$）-（$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+…+\frac{1}{{2}^{2016}}$）
=2•$\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{4}^{2016}}）}{1-\frac{1}{4}}$$-\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{2016}}）}{1-\frac{1}{2}}$=$\frac{1}{3}（\frac{1}{{2}^{2016}}-1）$．
故答案为：$\frac{1}{3}（\frac{1}{{{2^{2016}}}}-1）$．

点评 本题考查数列递推式，考查了数列的求和，训练了数学转化思想方法和分类讨论的数学思想方法，是难题．