Question

已知函数，（a为实数）．

（1） 当a=5时，求函数在处的切线方程；

（2） 求在区间（）上的最小值；

（3） 若存在两不等实根，使方程成立，求实数a的取值范围．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）当时, ，当时, ；（3）.

【解析】

试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数研究函数的单调性等性质等基础知识，同时考查分类讨论等综合解题能力.第一问，先将代入，确定的解析式，利用导数求切线的斜率，利用求切点的纵坐标，即可得出切线方程；第二问，先对求导，令，解出单调区间如表格，下面需讨论t的取值范围，分2种情况，当和时判断函数的单调区间，判断最小值；第三问，将问题转化为与两个图像有交点，对函数求导，判断函数的单调性，最小值为，而最大值在和中取得，需作出比较和的大小，来判断出最大值，最后令a在最大值与最小值之间，注意数形结合判断端点处是否符合题意.

试题解析：（1）当时,. 1分

，故切线的斜率为. 2分

所以切线方程为:,即. 4分

（2）,

	单调递减	极小值(最小值)	单调递增

6分

①当时,在区间上为增函数,

所以 7分

②当时,在区间上为减函数,在区间上为增函数,

所以 8分

（3） 由，可得：， 9分

,

令, .

	单调递减	极小值(最小值)	单调递增

10分

,, .

. 11分

实数的取值范围为 . 12分

考点：1.利用导数判断函数的单调性；2.利用导数求函数最值.