Question

已知A（1，）是离心率为的椭圆E：+=1（a＞b＞0）上的一点，过A作两条直线交椭圆于B、C两点，若直线AB、AC的倾斜角互补．
（1）求椭圆E的方程；
（2）试证明直线BC的斜率为定值，并求出这个定值；
（3）△ABC的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值？若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用A（1，）是离心率为的椭圆E：+=1（a＞b＞0）上的一点，建立方程，求出几何量，即可得到椭圆的标准方程；
（2）设出直线方程，代入椭圆方程，确定B，C的坐标，即可求出直线BC的斜率为定值；
（3）设出直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，确定三角形的面积，利用基本不等式，即可求得结论．
解答：（1）解：∵椭圆的离心率为，∴，∴a²=2b²
∴椭圆方程为
∵A（1，）是椭圆上的点，
∴
∴b²=2
∴椭圆方程为；
（2）证明：设直线AB的方程为，代入椭圆方程可得（k²+2）x²-x+（）=0，∵x=1是方程的一个实根，
∴由韦达定理得，1+x_B=，故x_B=，
∴=，
∴B（，），
∵AB、AC的倾斜角互补，故其斜率互为相反数，用-k代替k可得
C（，），∴==
（3）解：设BC的方程为y=x+m，由可得，
设方程的两根为x₁，x₂，于是|BC|=•=，
又A（1，）到直线BC的距离为d=，
∴••=•≤=，
当且仅当m²=4时等号成立，故△ABC的面积的最大值为．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查三角形面积的计算，属于中档题．