Question

已知直线

2

x+y+a=0与圆x²+y²=4交于A、B两点，若|

OA

+

OB

|=

3

|

OA

-

OB

|，其中O为坐标原点，则实数a的值为

 

．

Answer 1

分析：设C为AB的中点，由题意得 2OC=

3

AB，故∠AOC=

π

6

，∠AOB=

π

3

，△AOB为等边三角形，圆心O到直线

2

x+y+a=0的距离等于

3

，由

|0+0+a|

2+1

=

3

，求出a值．

解答：解：设C为AB的中点，∵直线

2

x+y+a=0与圆x²+y²=4交于A、B两点，若|

OA

+

OB

|=

3

|

OA

-

OB

|，
∴2OC=

3

AB，∴OC=

3

2

AB=

3

 AC，∴∠AOC=

π

6

，∠AOB=

π

3

，
∴△AOB为等边三角形，∴AB=OA=OB=2，由弦长公式可得圆心O到直线

2

x+y+a=0的距离等于

3

，
∴

|0+0+a|

2+1

=

3

，∴a=±3，
故答案为±3．

点评：本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，判断△AOB为等边三角形，是解题的关键．