Question

(2007天津，19)如下图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．

(1)证明CD⊥AE；

(2)证明PD⊥平面ABE；

(3)求二面角A－PD－C的大小．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)在四棱锥P－ABCD中，因PA⊥底面ABCD，CD平面ABCD，故PA⊥CD． ∵AC⊥CD，PA∩AC=A，∴CD⊥平面PAC．而AE平面PAC，∴CD⊥AE． (2)由PA=AB=BC，∠ABC=60°，可得AC=PA．∵E是PC的中点，∴AE⊥PC． 由(1)知，AE⊥CD，且PC∩CD=C，所以AE⊥平面PCD． 而PD平面PCD，∴AE⊥PD． ∵PA⊥底面ABCD，PD在底面ABCD内的射影是AD，AB⊥AD，∴AB⊥PD． 又∵AB∩AE=A，综上得PD⊥平面ABE． (3)过点A作AM⊥PD，垂足为M，连结EM．由(2)知，AE⊥平面PCD，AM在平面PCD内的射影是EM，则EM⊥PD． 因此∠AME是二面角A－PD－C的平面角． 由已知，得∠CAD=30°，设AC=a，可得PA=a，．，． 在Rt△ADP中，∵AM⊥PD， ∴，则 ． 在Rt△AEM中，． 所以二面角A－PD－C的大小是．