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已知椭圆与双曲线x2-y2=1有相同的焦点,且离心率为
(I)求椭圆的标准方程;
(II)过点P(0,1)的直线与该椭圆交于A、B两点,O为坐标原点,若=2,求△AOB的面积.
【答案】分析:(I)设椭圆方程为,由椭圆与双曲线x2-y2=1有相同的焦点可得c值,由离心率可得a值,根据 平方关系可得b;
(II)设A(x1,y1),B(x2,y2),由=2,得,设直线方程为y=kx+1,代入椭圆方程整理,得(2k2+1)x2+4kx-2=0,△AOB的面积S=S△OAP+S△OBP=,根据韦达定理及弦长公式即可求得答案;
解答:解:(I)设椭圆方程为
因为椭圆与双曲线有相同焦点,
所以c=,再由e=可得a=2,∴b2=a2-c2=2,
故所求方程为
(II)设A(x1,y1),B(x2,y2),
=2,得
设直线方程为y=kx+1,代入椭圆方程整理,得(2k2+1)x2+4kx-2=0,
解得

则-=2
解得
又△AOB的面积S=S△OAP+S△OBP====
故所求△AOB的面积是
点评:本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆方程的求解,考查平面向量的基本运算,解决(II)问的关键是恰当表示出△AOB的面积.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

(2013•门头沟区一模)已知椭圆与双曲线x2-y2=1有相同的焦点,且离心率为
2
2

(I)求椭圆的标准方程;
(II)过点P(0,1)的直线与该椭圆交于A、B两点,O为坐标原点,若
AP
=2
PB
,求△AOB的面积.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知椭圆与双曲线x2-
y23
=1
有公共的焦点,且椭圆过点P(0,2).
(1)求椭圆方程的标准方程;
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科目:高中数学 来源:门头沟区一模 题型:解答题

已知椭圆与双曲线x2-y2=1有相同的焦点,且离心率为
2
2

(I)求椭圆的标准方程;
(II)过点P(0,1)的直线与该椭圆交于A、B两点,O为坐标原点,若
AP
=2
PB
,求△AOB的面积.

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科目:高中数学 来源:2011年广东省深圳中学高三5月考前演练数学试卷(文科)(解析版) 题型:解答题

已知椭圆与双曲线有两个公共点,且椭圆m与双曲线n的离心率之和为2.
(1)求椭圆m的方程;
(2)过椭圆m上的动点P作互相垂直的两条直线l1,l2,l1与圆O:x2+y2=a2+b2相交于点A,C,l2与圆x∈[2,6]相交于点B,D,求四边形ABCD的面积的最小值.

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