Question

已知圆x²+y²+4x+10y+4=0．
（1）证明点B（1，-1）在圆上，并求出过点B的圆的切线方程．
（2）证明点C（1，0）在圆外，并求出过点C的圆的切线方程．

Answer 1

分析：（1）把点B的横坐标x=1代入圆的方程解得y=-1，得到B在圆上，先求出直线BM的斜率，根据切线与直线BM垂直斜率乘积为-1得到切线的斜率，即可得到切线方程；
（2）利用点到直线的距离CM大于半径可得点在圆外，设出切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径可得直线的斜率，即可得到切线方程．

解答：解：（1）因为1²+（-1）²+4×1+10×（-1）+4=0，
所以点B（1，-1）在圆上．
设圆心为M，所以k_BM=

-1-(-5)

1-(-2)

=

4

3

，所以过点B（1，-1）的圆的切线方程为y+1=-

3

4

（x-1）．所以3x+4y+1=0．
（2）因为|CM|=

(1+2)2+52

=

34

＞5=r（r为已知圆的半径），所以点C（1，0）在圆外．
设过点C与圆M相切的直线的方程为y=k（x-1）（显然斜率存在），即kx-y-k=0．因为圆与直线相切，所以半径5=

|-2k+5-k|

1+k2

．所以k=0或k=-

15

8

．
所以切线方程为y=0或15x+8y-15=0．

点评：考查学生理解直线与圆相切即为圆心到直线距离等于半径，会求过圆上和圆外点的切线方程．